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El milagroso año (y medio) de los números primos

Javier Frezán*, El País de España, enero 11 de 2015

La solución a una conjetura formulada por el matemático húngaro Paul Erdős hace 80 años corona un año y medio de extraordinarios avances en el estudio de los números primos

A falta de probetas o telescopios, el laboratorio del matemático –completamente portátil– consiste en una colección de problemas de dificultad variada. Conviven en ella preguntas al alcance de las técnicas actuales con otras que requieren, en apariencia, ideas nuevas; sin olvidar esos oscuros objetos del deseo, inconfesables incluso a los colaboradores más cercanos, que uno espera secretamente resolver pese al convencimiento de que pasarán décadas sin ver ningún progreso. Siempre queda la esperanza de que la ciencia no avanza linealmente y, por tanto, no hay pronóstico fiable. Hasta el gran David Hilbert se equivocó al considerar, en su lista de problemas que marcarían la investigación del siglo XX, que la hipótesis de Riemann caería mucho antes que otro problema que se resolvió en apenas treinta años.

Quienes se dedican al estudio de los números primos conocen bien los límites de estas predicciones. Ni los más optimistas se habrían atrevido a imaginar los progresos espectaculares que ha vivido esta disciplina en el último año y medio, desde que el matemático de origen chino Yitang Zhang anunciara, en la primavera de 2013, que existen infinitos pares de números primos a distancia acotada. Como explica Andrew Granville, de la Universidad de Montreal, su generación creció con la idea de que "esas preguntas eternas siempre estarían allí”, pero los avances recientes han hecho que los jóvenes que se inician hoy en día en la teoría de números “sientan que todo es posible”. Entre ellos destaca James Maynard (nacido en 1987), que, al poco de defender su tesis doctoral, sorprendió de nuevo a la comunidad matemática con una impresionante mejora de los resultados de Zhang, que bien merece el guiño borgiano de “autor del teorema del año”.

Distancias entre números primos

Una de las particularidades de la teoría “clásica” de números, respecto a otras áreas de las matemáticas, es que muchos de sus problemas admiten un enunciado elemental, por muy difícil que pueda resultar su solución. Cuando, pongamos, un geómetra algebraico intenta explicar sus investigaciones, el primer obstáculo al que se enfrenta es que su objeto mismo de estudio es el fruto de un largo proceso de abstracción. Los teoremas de Zhang y Maynard tratan, sin embargo, de los números que utilizamos a diario para contar; en concreto, de los números primos, aquellos únicamente divisibles por uno y por sí mismos. Por ejemplo, 2, 3, 5, 163 o 27644437 son primos, pero 15 (divisible por 3 y 5) no lo es, ni tampoco ningún número par mayor que 2. Podríamos llamarlos “ladrillos básicos de la aritmética”, pues cualquier otro número se obtiene multiplicando primos.

Los primos abundan entre los números pequeños, pero pronto se vuelven más y más escasos. Su distribución precisa sigue siendo un misterio: dado un número primo, ¿cuántas unidades tenemos que avanzar hasta encontrar el siguiente? Esta cantidad se denomina distancia entre primos sucesivos (prime gap en inglés). Con la excepción de 2 y 3, todos los números primos están separados por al menos dos unidades. Otra propiedad elemental es que los saltos entre primos pueden ser arbitrariamente grandes, pues ninguno de los n (ene) números del intervalo (n!+1, n!+n) es primo. Así se puede interpretar un título como “La soledad de los números primos”, la novela de Paolo Giordano. Por el contrario, cuando la distancia entre dos primos consecutivos es exactamente dos, es decir, la mínima posible, hablamos de primos gemelos; por ejemplo, 5 y 7, 311 y 313 o 360287 y 360289. La conjetura de los primos gemelos afirma que existen infinitos pares de estos números.

70 millones de separación

El annus mirabilis de los números primos comenzó en abril de 2013, cuando Zhang, por entonces un desconocido, envió a la revista Annals of Mathematics –el equivalente de Nature o Science para los matemáticos– un artículo titulado Bounded gaps between primes, en el que demostraba que existen infinitos pares de números primos separados por menos de 70 millones. Zhang tomaba como punto de partida los importantes trabajos de Dan Goldston, János Pintz y Cem Yildrim. Tras un mes de revisión por un comité de expertos (un plazo extraordinariamente corto para una revista en la que las idas y venidas de informes de lectura pueden durar varios años), la versión electrónica del artículo de Zhang se publicó a mediados de mayo de 2013. Durante semanas, en los departamentos de matemáticas no se hablaba de otra cosa. Hay quien dijo entonces, con humor, que solo un matemático es capaz de alegrarse de encontrar el número 70 millones cuando la respuesta esperada es 2. Pero, como declaró el propio Goldston, “la diferencia entre 2 y 70 millones no es nada en comparación con la diferencia entre 70 millones e infinito”. Y la mejor prueba es que, en poco tiempo, se consiguió reducir la cota hasta 246.

Los primos abundan entre los números pequeños, pero pronto se vuelven más y más escasos. Su distribución precisa sigue siendo un misterio

Con este propósito se inició el proyecto Polymath, una iniciativa de colaboración masiva online nacida a raíz de una entrada del blog de Timothy Gowers. En ella, el matemático británico se preguntaba si sería posible que un nuevo modo de trabajo, basado en pequeñas contribuciones de muchos matemáticos distintos a través de un foro público del estilo de Wikipedia, sustituyera en ciertos casos a la forma tradicional de colaboración, en la que un reducido número de personas (a menudo dos o tres) discuten en privado. Convencido de que se podían mejorar sustancialmente los resultados de Zhang, Terence Tao, de la Universidad de California, lanzó a principios de junio de 2013 el octavo proyecto Polymath, con el objetivo de entender mejor las técnicas del artículo y reducir la cota de 70 millones. Durante cinco meses, expertos consagrados, doctorandos, estudiantes de licenciatura o simplemente aficionados aunaron esfuerzos para alcanzar el ansiado 2. Todavía mayor era el número de matemáticos que, sin participar activamente, seguían a diario los avances, casi como una cuenta atrás. A finales de octubre se había bajado hasta 4.680, y un artículo explicando las mejoras estaba casi listo para publicación.

Y entonces llegó James Maynard. Durante su tesis en la Universidad de Oxford, había estudiado cuestiones muy relacionadas con las distancias entre primos. Una vez iniciado el proyecto Polymath, no pretendía continuar en esta línea, “para evitar la competición”. Pero un día, trabajando en solitario, se dio cuenta de cómo modificar el método de Goldston, Pintz y Yildrim para probar que hay infinitos pares de primos separados por menos de 600 unidades. Sus nuevas ideas no solo proporcionaban la mejor cota conocida hasta el momento, sino que además simplificaban la prueba de Zhang y permitían asimismo estudiar las diferencias entre primos no consecutivos. El trabajo de Maynard, Small gaps between primes–también publicado por Annals of Mathematics– suscitó rápidamente el entusiasmo de los miembros de Polymath, que a partir de él obtuvieron la cota récord de 246 incondicionalmente, y de 6 suponiendo que la llamada conjetura de Elliot-Halberstam sea cierta. Por desgracia (o por suerte), la comunidad parece estar de acuerdo en que hacen falta ideas nuevas para atacar la conjetura de los primos gemelos.

La conjetura de Erdős

Sin embargo, otras sorpresas esperaban a los teóricos de números, que empiezan a acostumbrarse a las celebraciones. En agosto de 2014, con solo un día de diferencia, aparecieron en el servidor arXiv dos artículos que confirmaban independientemente una conjetura formulada por el matemático húngaro Paul Erdős casi hace 80 años: el primero firmado por Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin y Terence Tao, y el segundo, de nuevo por James Maynard. Acto seguido, los cinco autores se pusieron de acuerdo para trabajar juntos, dando como resultado un nuevo texto, Long gaps between primes, publicado hace unas semanas.

No se trata, en este caso, de estudiar las distancias pequeñas, sino de estimar cómo de grandes pueden ser en comparación con el tamaño de los primos. Su fórmula hace intervenir diez logaritmos, un número insultantemente alto, “algo ridículo, que a nadie se le ocurriría”, en palabras de Tao. “Al fin y al cabo, seguimos sin entender bien los números primos”. Excéntrico entre los excéntricos –como lo llamó la revista Time–, Erdős fue uno de los científicos más prolíficos del siglo pasado, con más de 1500 artículos en combinatoria, teoría de números y probabilidad, escritos con alrededor de 500 coautores, en cuyas casas se iba alojando. Tanto es así que existe un número de Erdős destinado a cuantificar la “distancia colaborativa” entre matemáticos.

A lo largo de su vida, además de resolver miles de problemas, Erdős planteó muchos otros, que le gustaba presentar acompañados de una recompensa económica. Esta podía variar entre 25 dólares y 10.000, la suma más alta, ofrecida “tal vez con cierta precipitación” precisamente para quien resolviera la conjetura sobre las grandes distancias entre primos. A la espera de un nuevo descubrimiento, cabe preguntarse: ¿quién pagará los 10.000 dólares?

Todo número impar mayor que 5 es la suma de tres primos

La conjetura de Goldbach es otro de los problemas sobre números primos que, pese su enunciado elemental, se ha resistido a generaciones enteras de matemáticos, ¡incluso al tío Petros! Formulado por el alemán Christian Goldbach en una carta a Euler en 1742, el problema consiste en demostrar que todo número par mayor que 2 se puede obtener como suma de dos números primos, como es el caso de 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5 o 10=3+7. Si la conjetura es cierta, entonces todo número impar mayor que 5 es suma de tres números primos, un enunciado que se conoce con el nombre de conjetura ternaria de Goldbach. En el año 2013, este último fue demostrado por el matemático de origen peruano Harald Helfgott, investigador del CNRS. Desde los trabajos de Vinogradov en 1937 se sabía que la conjetura ternaria era cierta para números mayores que una cierta constante, pero esa constante era tan gigantesca que imposibilita cualquier verificación por ordenador de los casos restantes. Un nuevo enfoque permitió a Helfgott reducir la cota, convirtiendo la comprobación final de la conjetura en “una tarea computacional menor”.

*Javier Fresán es matemático y autor de varias libros de divulgación, el último de ellos Los números trascendentes (CSIC-Libros de la Catarata, 2013), en colaboración con Juanjo Rué. En la actualidad trabaja como investigador postdoctoral en el ETH de Zürich.

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